数学基础(一）

1. 基础约定

1.1 坐标系

1.3 行存储和列存储

1.3.1 行存储

在计算机内存中，按照行优先存储一个矩阵，DirectX使用这种方式比如对于矩阵

[\begin{matrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{matrix}]

在内存中为 $M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{21}, M_{22} \dots$

1.3.2 列存储

按照列优先存储一个矩阵，OpenGL使用这种方式比如对于矩阵

[\begin{matrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{matrix}]

在内存中为 $M_{11}, M_{21}, M_{31}, M_{12}, M_{22} \dots$

2. 矢量

2.1 基本操作

2.1.1 定义

\begin{aligned} \vec{u} & = [u_{x}, u_{y}, u_{z}]^{T}, \vec{v} = [v_{x}, v_{y}, v_{z}]^{T} \\ \vec{u} \pm \vec{v} & = [u_{x} \pm v_{x}, u_{y} \pm v_{y}, u_{z} \pm v_{z}]^{T} \\ k \vec{u} & = [k u_{x}, k u_{y}, k u_{z}]^{T} \end{aligned}

2.2 标准矢量

标准矢量(Standard Basis)，定义 $\vec{i} = [1, 0, 0]^{T}, \vec{j} = [0, 1, 0]^{T}, \vec{k} = [0, 0, 1]^{T}$

2.3 长度

2.3.2 定义

对于三维矢量 $\vec{u}$ ，定义矢量的单位矢量

\hat{\vec{u}} = \frac{\vec{u}}{∥ \vec{u} ∥} = (\frac{u_{x}}{∥ \vec{u} ∥}, \frac{u_{y}}{∥ \vec{u} ∥}, \frac{u_{z}}{∥ \vec{u} ∥})

2.4 点积

2.4.1 定义

对于两个三维矢量 $\vec{u}, \vec{v}$ ，定义它们的点积(Dot Product)为

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y} + u_{z} v_{z}

2.4.2 点积的几何意义

\vec{a} \cdot \vec{b} = ∥ \vec{a} ∥ ∥ \vec{b} ∥ \cos θ

两个向量的点积可以看成两个向量相近的程度，向量和自身的点积是向量长度的平方

\vec{u} \cdot \vec{u} = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{u} ∥ = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}

向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影的长度为

a_{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{∥ b ∥}

2.4.3 推论

判断两个矢量 $\vec{u}, \vec{v}$ 之间的夹角和它们之间点积的关系

\cos (θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥}

当 $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ ，夹角在[0,90)之间
当 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ，两个矢量垂直
当 $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ ，两个矢量夹角在(90,180]之间

2.4.3 基本运算规则

矢量的点积满足一般的交换律、分配律

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$

2.5叉积

2.5.1 定义

对于两个三维矢量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，定义它们的叉积

\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} | \\ = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) \vec{i} + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) \vec{j} + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) \vec{k} \end{aligned}

2.5.2 叉积的几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

定义向量 $\vec{n}$ 是一个单位向量，方向同时垂直于向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ ，且符合右手定则（右手坐标系），那么

\vec{u} \times \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥ \sin (θ) \vec{n}

向量a和向量b的叉积还可以视作以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为边的平行四边形的面积

2.5.3 基本运算规则

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$
$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$\vec{a} \times (k \vec{b}) = k (\vec{a} \times \vec{b})$

2.5.4 叉积的矩阵形式

两个向量的叉积，可以表达成一个矩阵和向量的乘积的形式，例如向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉积

\vec{a} \times \vec{b} = [\begin{matrix} (\vec{a} \times \vec{b})_{x} \\ (\vec{a} \times \vec{b})_{y} \\ (\vec{a} \times \vec{b})_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} \\ a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} \\ a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & - a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & - a_{x} \\ - a_{y} & a_{x} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}]

这里称这个矩阵为矢量 $\vec{a}$ 的叉乘矩阵cross-product matrix，写作 $[a]_{\times}$

[a]_{\times} \overset{d e f}{=} [\begin{matrix} 0 & - a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & - a_{x} \\ - a_{y} & a_{x} & 0 \end{matrix}]

2.6 混合积

对于三个矢量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，定义混合积为

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

混合积满足

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}

2.6.1 混合积的几何意义

如图，以三个矢量为边的棱作平行六面体， $∥ \vec{a} \times \vec{b} ∥$ 可以视作以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为边的平行四边形的面积， $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 可以视作这个平行六面体的体积

2.7 三重积

对于三个矢量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，有如下公式

\begin{matrix} (2.6.1) & \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \end{matrix}

证明：
设 $\vec{d} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ，可知 $\vec{d}$ 垂直于 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 所组成的平面的法线，也就是 $\vec{d}$ 平行于 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 所组成的平面。所以 $\vec{d}$ 可以表达成 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 的线性组合

\vec{d} = m \vec{b} + n \vec{c}

由于 $\vec{d}$ 垂直于 $\vec{a}$ ，所以

\begin{aligned} \vec{a} \cdot (m \vec{b} + n \vec{c}) & = 0 \\ m (\vec{a} \cdot \vec{b}) + n (\vec{a} \cdot \vec{c}) & = 0 \end{aligned}

所以一定存在一个非零的实数 $p$ ，使得 $m = p (\vec{a} \cdot \vec{c}), n = - p (\vec{a} \cdot \vec{b})$ ，所以

\vec{d} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = p (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - p (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

由于这是一个恒等式, $p$ 的值和 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 无关，当特殊情况 $\vec{a} = \vec{c}$ 时，有

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = p (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} - p (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}

两边同时点积 $\vec{b}$ ，可以得到

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = p (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b}) - p (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{a} \cdot \vec{b})

等号左侧应用混合积公式，可以得到

\begin{aligned} \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} & = (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) \\ = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} s i n^{2} (θ) \end{aligned}

等号右侧

\begin{aligned} p (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b}) - p (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{a} \cdot \vec{b}) & = p ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} - p ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} c o s^{2} (θ) \\ = p ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} (1 - c o s^{2} (θ)) \\ = p ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} s i n^{2} (θ) \end{aligned}

由此可得 $p = 1$