数学基础(二）

3. 矩阵

3.1 定义

一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 是一个有 $m$ 行 $n$ 列的数组， $A_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素， $A_{i, *}$ 表示第 $i$ 行所有元素， $A_{*, j}$ 表示第 $j$ 列所有元素，

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \leftarrow & A_{1, *} & \to \\ \leftarrow & A_{2, *} & \to \\ \leftarrow & A_{3, *} & \to \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} ↑ & ↑ & ↑ \\ A_{*, 1} & A_{*, 2} & A_{*, 3} \\ ↓ & ↓ & ↓ \end{array}] \end{aligned}

3.2 加法

如果矩阵 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵 $B$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么 $A + B$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵 $C$ ，并且

C_{i j} = A_{i j} + B_{i j}

3.3 乘法

3.3.1 定义

矩阵之间的乘法，如果矩阵 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵 $B$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，那么 $A B$ 是一个 $m \times p$ 的矩阵 $C$ ，并且

C_{i j} = A_{i, *} \cdot B_{*, j}

一般来说 $A B \neq B A$

3.3.2 举例

\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{c} - 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} (- 1, 5, - 4) \cdot (2, 0, - 1) & (- 1, 5, - 4) \cdot (1, - 2, 2) & (- 1, 5, - 4) \cdot (0, 1, 3) \\ (3, 2, 1) \cdot (2, 0, - 1) & (3, 2, 1) \cdot (1, - 2, 2) & (3, 2, 1) \cdot (1, - 2, 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 & - 19 & - 7 \\ 5 & 1 & 5 \end{array}] \end{aligned}

3.3.3 矢量和矩阵相乘

以三维为例

\begin{aligned} \vec{u} A & = [x, y, z] [\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}] \\ = [x, y, z] [\begin{array}{c} ↑ & ↑ & ↑ \\ A_{*, 1} & A_{*, 2} & A_{*, 3} \\ ↓ & ↓ & ↓ \end{array}] \\ = x A_{*, 1} + y A_{*, 2} + z A_{*, 3} \end{aligned}

3.4 转置矩阵

3.4.1 定义

将一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 的行和列颠倒，变成一个 $n \times m$ 的矩阵，成为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{T}$

3.4.2 举例

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} 2 & - 1 & 8 \\ 3 & 6 & - 4 \end{array}] \\ A^{T} & = [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 6 \\ 8 & - 4 \end{array}] \end{aligned}

3.4.3 正交矩阵

如果一个矩阵满足 $A A^{T} = I$ ，则称 $A$ 为正交矩阵(Orthogonal matrix)。正交矩阵满足如下特性：

必须是一个方阵，即n行n列；
矩阵中的每一列若视作向量，则这些向量均两两相互垂直；
矩阵中的每一列若视作向量，则这些向量的长度均为1；

3.5 基本运算规则

$A + B = B + A$
$(A + B) + C = A + (B + C)$
$r (A + B) = r A + r B$
$(r + s) A = r A + s A$
$A (B + C) = A B + A C$
$(A + B) C = A C + B C$
$(A B) C = A (B C)$
$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
$(c A)^{T} = c A^{T}$
$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$
$(A^{T})^{T} = A$
$(A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1}$ 对于矩阵,交换律不生效，大部分情况下 $A B \neq B A$

3.6 单位矩阵

3.6.1 定义

一个 $n \times n$ 的矩阵，从左上角到右下角都是1，其他元素都是0，称为单位矩阵，用 $I$ 表示，如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是一个 $n \times p$ 矩阵，那么

A I = A, B = B

3.7 子式矩阵(Minor Matrix)

3.7.1 定义

对于一个 $n \times n$ 的矩阵，把第i行和第j列去掉之后的子矩阵，称为Minor Matrix(中文翻译比较乱），记为 ${\overset{―}{A}}_{i j}$ ，比如对于一个3x3的矩阵

A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}]

{\overset{―}{A}}_{11} = [\begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix}], {\overset{―}{A}}_{13} = [\begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix}]

3.8 行列式（Determinant of a Matrix）

3.8.1 定义

一个矩阵 $A$ 的行列式是一个数值，记为 $det A$

det A = \sum_{j = 1}^{n} (A_{1 j} (- 1)^{1 + j} det {\overset{―}{A}}_{1 j})

当矩阵是一个1x1的矩阵时， $det [A_{11}] = A_{11}$

3.8.2 举例

\begin{aligned} det [\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}] \\ = A_{11} det [A_{22}] - A_{12} det [A_{21}] = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{aligned}

\begin{aligned} det [\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}] \\ = A_{11} det [\begin{array}{c} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{array}] - A_{12} det [\begin{array}{c} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{array}] + A_{13} det [\begin{array}{c} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{array}] \\ = A_{11} A_{22} A_{33} - A_{11} A_{23} A_{32} - A_{12} A_{21} A_{33} + A_{12} A_{23} A_{31} + A_{13} A_{21} A_{32} - A_{13} A_{22} A_{31} \end{aligned}

3.9 伴随矩阵(Adjoint of a Matrix)

3.9.1 定义

对于 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ，定义另一个 $n \times n$ 矩阵 $C$ ，使得

C_{i j} = (- 1)^{i + j} det {\overset{―}{A}}_{i j}

那么 $C$ 的转置矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵，记为 $A^{*}$

A^{*} = C_{A}^{T}

3.9.2 举例

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] \\ A^{*} & = [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}] \end{aligned}

3.9.3 基本运算

$(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}$
$(k A)^{*} = k^{n - 1} A^{*}$
$A A^{*} = A^{*} A = det (A) I$

M^{- 1} = \frac{M^{*}}{det (A)}

3.10.3 正交矩阵

对于正交矩阵，根据定义有 $M^{- 1} = M^{T}$