数学基础(三）

4. 立体角

三维空间的弧度，以r为半径的球，在球表面面积为 $A = r^{2}$ 的圆对应的立体角为单位立体角，

下图中方形面积对应的立体角为

d ω = \frac{d A}{R^{2}} = \frac{R \sin θ d ϕ \times R d θ}{R^{2}} = \sin θ d ϕ d θ

针对立体角的半球体积分可以转换为球面角

\int_{Ω} f (\vec{ω}) d ω = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} f (θ, ϕ) \sin θ d θ d ϕ

比如求半球体的面积

\int_{Ω} d ω = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} \sin θ d θ d ϕ = 2 π